Wie ich es mir vorstelle²:
​Grundsätzlich geht es darum, dass man als privater Käufer eines Fahrzeuges dem Autohändler die Möglichkeit innerhalb einer „angemessenen“ Frist der Nachbesserung geben muss. Willkommen im bei den Gummiparagraphen, denn was ist den bitte eine „angemessene“ Frist?

Gerne wird eine Frist von einer Woche gesetzt, diese halte ich für etwas knapp bemessen. Ich persönlich empfehle immer 14 Tage.

Lässt der Autohändler diese Frist verstreichen, oder erklärt, dass er für den Schaden nicht eintreten wird, dann kann der selbst eine Werkstatt mit der Reparatur beauftragen. Zwar muss er in diesem Fall die Reparaturkosten vorstrecken, kann diese Kosten dann jedoch gerichtlich einklagen.

Tipp:
Wenn bei der Selbstvornahme Teile getauscht werden, dann sollte man sich diese Teile unbedingt von der Werkstatt geben lassen und sie aufbewahren.  Rein rechtlich gehören diese Teile dann dem Autohändler. Der Autohändler kann dann auch bei Bedarf einen Sachverständigen mit der Begutachtung des defekten Teil beauftragen. Auch hierzu gibt es ein interessantes Urteil des Bundesgerichthof.  ---> LINK

Meine persönlichen Empfehlungen zum Thema:

Rechtsanwälte       Gutachter       Werkstätten

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² Ich möchte deutlich hervorheben, dass ich kein Rechtsanwalt bin.
Fragen beantworte ich gerne und gebe auch gerne meine persönliche Meinung wieder. Ich bin jedoch kein Jurist und darf keine Rechtsberatung geben. Zur Durchsetzung von Rechten beauftrage einen Rechtsanwalt. Meine entsprechende Empfehlung für Rechtsanwälte siehst Du etwas weiter oben.